(유튜브 동영상인데 현재는 삭제되어서 내용만 남김)

## 개념

• $(V, +', \cdot ')$: V.S over $\mathbb{F}$ 일때, $(W, +', \cdot ')$ : sub V.S of $(V, +', \cdot ')$ (V.S = Vector Space)
• $\Leftrightarrow$
• $W \subseteq V$
• $+', \cdot '$가 $W$ 위에서 그대로 잘 정의되어, $(W, +', \cdot ')$ : V.S over $\mathbb{F}$
• Sub V.S 예시
• $\mathbb{Q}^{n}$ (over $\mathbb{Q}$) : sub V.S of $\mathbb{R}^{n}$ (over $\mathbb{Q}$)
• V : sub V.S of V
• $\{ \vec{0}_{V} \}$: sub V.S of V
• $W$: sub V.S of $V$
• $\Leftrightarrow$
• $\vec{0}_{V} \in W$
• $a, b \in W \Rightarrow a + b \in W$
• $\alpha \in \mathbb{F}, a \in W \Rightarrow \alpha \cdot a \in W$
• Sub V.S 특징
• $W$ : sub V.S of $V, U$ : sub V.S of $W \Rightarrow U$: sub V.S of $V$
• $W_{\alpha}$ : sub V.S of $V \Rightarrow \cap W_{\alpha}$ : sub V.S of $V$
• $W_{1}, W_{2}$ : sub V.S of $V$
• $\Rightarrow$
• $W_{1} \cup W_{2}$ : sub V.S of $V \Leftrightarrow W_{1} \subseteq W_{2} \lor W_{2} \subseteq W_{1}$
• $W_{1}, W_{2}$: sub V.S of $V$
• $\Rightarrow$
• $W_{1} + W_{2}$ : sub V.S of $V$
• $W_{1}, W_{2}$ : sub V.S of $W_{1} + W_{2}$
• $U$ : sub V.S of $V, W_{1} \subseteq U, W_{2} \subseteq U \Rightarrow W_{1} + W_{2} \subseteq U$
• $W$: sub V.S of $V$
• $\Leftrightarrow$
• $W \neq \emptyset (c \in \mathbb{F}, a, b \in W \Rightarrow c \cdot a \in W, a + b \in W)$
• $0_{v} \in W (\alpha \in \mathbb{F}, a, b \in W \Rightarrow \alpha \cdot a + b \in W)$
• $(V_{1}, +{1}, \cdot{1}), (V_{2}, +{2}, \cdot{2})$ : V.S over $\mathbb{F}$ 일 때, 곱집합
• 벡터 공간의 External Direct Sum
• $V_{1} \times V_{2} = \{ (a, b) | a \in V_{1}, b \in V_{2} \}$ 에 다음 연산을 정의한다.
• $(a, b) +{E} (c, d) = (a +{1} c, b +_{2} d)$
• $\alpha \cdot_{E} (a, b) = (\alpha \cdot_{1} a, \alpha \cdot_{2} b)$
• 그러면 $(V_{1} \times V_{2}, +{E}, \cdot{E})$는 V.S over $\mathbb{F}$ 가 된다.
• 이 벡터공간을 $V_{1} \oplus_{E} V_{2}$ 이라 한다.
• 벡터 공간의 Internal Direct Sum
• $(Z, +, \cdot)$: V.S over $\mathbb{F}$ , $(X, +, \cdot), (Y, +, \cdot)$: sub V.S of $(Z, +, \cdot)$ 일 때